Question

7．設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則使$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$的x的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 利用已知函數(shù)當(dāng)x＞0時(shí)的單調(diào)性和奇函數(shù)的對(duì)稱性畫出圖象即可解出．

解答 解：由f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且2是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，可以畫出圖象，
已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，因此其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（0）=0，據(jù)此畫出圖象．
①當(dāng)x＞0時(shí)，∵$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$，∴f（x）＞0，因此0＜x＜2；
②當(dāng)x＜0時(shí)，∵$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$，∴f（x）＜0，因此-2＜x＜0．
綜上可知：滿足$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$的x的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．
故答案為（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握奇函數(shù)的對(duì)稱性和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．