Question

16．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)一切x＞0，y＞0，都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若0＜x＜1時(shí)，有f（x）＜0，判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（3）=1，解不等式f（x-3）+2＜f（8x）

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入可解得．
（2）先判斷，后證明，利用單調(diào)性的定義證明；
（3）f（9）=2f（3）=2，則原不不等式等價(jià)于f[9（x-3）]＜f（8x），利用單調(diào)性即可解得．

解答 解：（1）令x=y=1，可得f（1）=f（1）-f（1），∴f（1）=0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₁＞x₂＞0，
∴0＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（3）=1，∴f（9）-f（3）=f（3），
∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（x-3）+2＜f（8x），
∴f[9（x-3）]＜f（8x），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴0＜9（x-3）＜8x，
∴3＜x＜27
∴原不等式的解集為（3，27）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．