Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，點(diǎn)D、E是斜邊AB上兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是線段AB靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D、E在線段AB上運(yùn)動時(shí)，且∠DCE=30°，設(shè)∠ACD=θ．試用θ表示△DCE的面積S，并求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意求得A、C、B、D的坐標(biāo)，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式求得 $\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$的值．
（2）由題意得∠CDA=120°-θ，∠CEA=90°-θ，CA=3，∠CAB=60°，利用正弦定理求得CD、CE的值，可得△DCE的面積S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°，化簡為$\frac{27}{8[\frac{\sqrt{3}}{2}+sin（2θ+60°）]}$．根據(jù)θ∈[0°，60°]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得S的最大值．

解答 解：（1）以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可得A（3，0）、C（0，0）、B（0，3$\sqrt{3}$）．
當(dāng)點(diǎn)D是線段AB靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D（2，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=（2，$\sqrt{3}$）•（3，0）=6．
（2）當(dāng)點(diǎn)D、E在線段AB上運(yùn)動時(shí)，且∠DCE=30°，設(shè)∠ACD=θ，
則∠CDA=120°-θ，∠CEA=90°-θ，∵CA=3，∠CAB=60°，
△ACD中，由正弦定理可得$\frac{3}{sin（120°-θ）}$=$\frac{CD}{sin60°}$，求得CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（120°-θ）}$．
△CAE中，由正弦定理可得$\frac{3}{sin（90°-θ）}$=$\frac{CE}{sin60°}$，求得CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
∴△DCE的面積S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°=$\frac{27}{16sin（120°-θ）•cosθ}$=$\frac{27}{16•[\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ]•cosθ}$ 
=$\frac{27}{8[\sqrt{3}•\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{1}{2}sin2θ]}$=$\frac{27}{8[\frac{\sqrt{3}}{2}+sin（2θ+60°）]}$．
由于θ∈[0°，60°]，∴2θ+60°∈[60°，180°]，
故當(dāng)2θ+60°=180°時(shí)，sin（2θ+60°）=0，S取得最大值為$\frac{27}{4\sqrt{3}}$=$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$；
2θ+60°=90°時(shí)，sin（2θ+60°）=1，S取得最小值為 $\frac{27}{4\sqrt{3}+8}$=$\frac{27（8-4\sqrt{3}）}{16}$=$\frac{54-27\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查用坐標(biāo)法解決向量問題，兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．