Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=2，sinA=$\sqrt{3}$sinB，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由正弦定理和條件得a=$\sqrt{3}$b，由余弦定理得到cosC，由平方關(guān)系求出sinC，根據(jù)面積公式化簡△ABC的面積S的表達式，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．

解答 解：∵sinA=$\sqrt{3}$sinB，∴a=$\sqrt{3}$b，
由余弦定理及c=2得，
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$=$\frac{2^{2}-2}{\sqrt{3}^{2}}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{2^{2}-2}{\sqrt{3}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{-^{4}+8^{2}-4}}{\sqrt{3}^{2}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}^{2}×\frac{\sqrt{-^{4}+8^{2}-4}}{\sqrt{3}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-^{4}+8^{2}-4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-{（b}^{2}-4）^{2}+12}$
當b²=4時，即b=2，△ABC的面積S有最大值是$\frac{1}{2}×\sqrt{12}$=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，以及二次函數(shù)的最值問題，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．