Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系與“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$，化為a_n=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．