Question

1．函數(shù)y=f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f₁（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f₁（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數(shù)圖y=f₂（x）的圖象，求y=f₂（x）的最大值，并求出此時自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而得到函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，可求得y=f₂（x）=f₁（x-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），從而可求y=f₂（x）的最大值及取最大值時的自變量的值．

解答 解：（1）由函數(shù)的圖象可得，A=2，由 $\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}-（-\frac{π}{6}）$，解得ω=2．
再由點（$\frac{π}{3}$，0）在函數(shù)圖象上，可得 2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{3}$．
故函數(shù)的解析式為f₁（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）將函數(shù)y=f₁（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，
得到函數(shù)圖y=f₂（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
y=f₂（x）的最大值為2，此時2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．