Question

13．馬來西亞航空公司3月8日航班號(hào)為MH370原定由吉隆坡飛往北京的飛機(jī)失去聯(lián)系后牽動(dòng)著所有人的心，今有中國、美國、越南、馬來西亞四國都派出搜尋部隊(duì)，假設(shè)中國和美國能夠單獨(dú)搜尋到目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$，越南和馬來西亞能夠單獨(dú)搜尋到目標(biāo)的概率分別為$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{4}$．
（1）若至少有三個(gè)國家鎖定同一目標(biāo)才能斷定該目標(biāo)為飛機(jī)出事地點(diǎn)，求搜尋到目標(biāo)的概率．
（2）記搜尋到目標(biāo)的國家數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A表示“中國單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，B表示“美國單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，C表示“越南單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，D表示“馬來西亞單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，A、B、C、D相互獨(dú)立，由已知得P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{1}{4}$，搜尋到目標(biāo)的概率：P=P（ABCD）+P（$\overline{A}BCD$）+P（A$\overline{B}$CD）+P（AB$\overline{C}$D）+P（ABC$\overline{D}$），由此能求出結(jié)果．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)A表示“中國單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，B表示“美國單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，
C表示“越南單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，D表示“馬來西亞單獨(dú)搜尋到目標(biāo)”，
A、B、C、D相互獨(dú)立，
由已知得P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{1}{4}$，
∵至少有三個(gè)國家鎖定同一目標(biāo)才能斷定該目標(biāo)為飛機(jī)出事地點(diǎn)，
∴搜尋到目標(biāo)的概率：
P=P（ABCD）+P（$\overline{A}BCD$）+P（A$\overline{B}$CD）+P（AB$\overline{C}$D）+P（ABC$\overline{D}$）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$
=$\frac{7}{27}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{108}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{29}{108}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{45}{108}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{24}{108}$，
P（X=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{4}{108}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{108}$	$\frac{29}{108}$	$\frac{45}{108}$	$\frac{24}{108}$	$\frac{4}{108}$

EX=$0×\frac{6}{108}+1×\frac{29}{108}$+$2×\frac{45}{108}$+3×$\frac{24}{108}+$$4×\frac{4}{108}$=$\frac{23}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．