Question

13．馬來西亞航空公司3月8日航班號為MH370原定由吉隆坡飛往北京的飛機失去聯(lián)系后牽動著所有人的心，今有中國、美國、越南、馬來西亞四國都派出搜尋部隊，假設中國和美國能夠單獨搜尋到目標的概率為$\frac{2}{3}$，越南和馬來西亞能夠單獨搜尋到目標的概率分別為$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{4}$．
（1）若至少有三個國家鎖定同一目標才能斷定該目標為飛機出事地點，求搜尋到目標的概率．
（2）記搜尋到目標的國家數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （1）設A表示“中國單獨搜尋到目標”，B表示“美國單獨搜尋到目標”，C表示“越南單獨搜尋到目標”，D表示“馬來西亞單獨搜尋到目標”，A、B、C、D相互獨立，由已知得P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{1}{4}$，搜尋到目標的概率：P=P（ABCD）+P（$\overline{A}BCD$）+P（A$\overline{B}$CD）+P（AB$\overline{C}$D）+P（ABC$\overline{D}$），由此能求出結果．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）設A表示“中國單獨搜尋到目標”，B表示“美國單獨搜尋到目標”，
C表示“越南單獨搜尋到目標”，D表示“馬來西亞單獨搜尋到目標”，
A、B、C、D相互獨立，
由已知得P（A）=P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{1}{4}$，
∵至少有三個國家鎖定同一目標才能斷定該目標為飛機出事地點，
∴搜尋到目標的概率：
P=P（ABCD）+P（$\overline{A}BCD$）+P（A$\overline{B}$CD）+P（AB$\overline{C}$D）+P（ABC$\overline{D}$）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$
=$\frac{7}{27}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{108}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{29}{108}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{45}{108}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{24}{108}$，
P（X=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{4}{108}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{108}$	$\frac{29}{108}$	$\frac{45}{108}$	$\frac{24}{108}$	$\frac{4}{108}$

EX=$0×\frac{6}{108}+1×\frac{29}{108}$+$2×\frac{45}{108}$+3×$\frac{24}{108}+$$4×\frac{4}{108}$=$\frac{23}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運用．