【題目】如圖甲,在直角梯形中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,過A點作AE⊥CD,垂足為E,現(xiàn)將ΔADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.取AD的中點F,連接BF,CF,EF,如圖乙。
(1)求證:BC⊥平面DEC;
(2)求二面角C-BF-E的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)先證明DE⊥平面ABCE 可得DE⊥BC,結(jié)合BC⊥EC,可證BC⊥平面DEC;
(2)以點E為坐標原點,分別以EA,EC,ED為x,y,z軸建立空間坐標系E-xyz,求出平面EFB和平面BCF的一個法向量,接著代入公式,可求得二面角C-BF-E的余弦值.
(1)證明:如圖,∵DE⊥EC,DE⊥AE,
∴DE⊥平面ABCE,
又∵BC平面ABCE,
∴DE⊥BC,
又∵BC⊥EC,DEEC=E,
∴BC⊥平面DEC.
(2)如圖,以點E為坐標原點,分別以EA,EC,ED為x,y,z軸建立空間坐標系E-xyz,
∴E(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D(0,0,2),A(2,0,0),F(1,0,1)
設(shè)平面EFB的法向量
由,
所以有
∴取,得平面EFB的一個法向量
設(shè)平面BCF的法向量為
由,
所以有
∴取,得平面BCF的一個法向量
設(shè)二面角C-BF-E的大小為
則.
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【題目】用系統(tǒng)抽樣法從140名學生中抽取容量為20的樣本,將140名學生從1~140編號.按編號順序平均分成20組(1~7號,8~14號,…,134~140號),若第17組抽出的號碼為117,則第一組中按此抽樣方法確定的號碼是( )
A.7B.5C.4D.3
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【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足
=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立,則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.
(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;
若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.
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【題目】已知圓的圓心為,且直線與圓相切,設(shè)直線的方程為,若點在直線上,過點作圓的切線,切點為.
(1)求圓的標準方程;
(2)若,試求點的坐標;
(3)若點的坐標為,過點作直線與圓交于兩點,當時,求直線的方程.
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【題目】某調(diào)研機構(gòu),對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,結(jié)果顯示,有人為“低碳族”,該人的年齡情況對應的頻率分布直方圖如圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名“低碳族”年齡的平均值,中位數(shù);
(2)若在“低碳族”且年齡在、的兩組人群中,用分層抽樣的方法抽取人,試估算每個年齡段應各抽取多少人?
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當時,求的最大值和最小值;
(2)當時,證明:在上有且僅有一個極大值點和一個極小值點(分別記為),且為定值.
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【題目】已知是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),為非正的常數(shù),且當時,.若存在實數(shù),使得的定義域與值域都為,則實數(shù)的取值范圍是()
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù),).以為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知曲線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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