【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求的最大值和最小值；

（2）當(dāng)時，證明：在上有且僅有一個極大值點和一個極小值點（分別記為），且為定值．

【答案】（1）的最大值為，最小值為.（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性，由此求得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值和最小值.（2）①將寫成分段函數(shù)的形式，當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)有一個極大值點和一個極小值點，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點.由此證得結(jié)論成立. ②根據(jù)①的結(jié)論，寫出關(guān)于極值點的韋達(dá)定理，計算出為定值.

（1）當(dāng)時，是奇函數(shù)，

考慮，，

求導(dǎo)得，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

又根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，

可知在單調(diào)遞減，和單調(diào)遞增

，，

所以的最大值為，最小值為.

（2）①當(dāng)時，

當(dāng)時，，，

，

所以在有2個根，，

其中，，則在和單調(diào)遞增，在

又在單調(diào)遞增，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以在上有且僅有一個極大值點和一個極小值點

②因為是方程的兩個根，

所以，

又，

所以為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄�。孩�2020年2月通過考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊（集訓(xùn)隊從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點分?jǐn)?shù)線，③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點線），該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表

省數(shù)學(xué)競賽一等獎

自主招生通過

高考達(dá)重點線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

0.5

0.6

0.9

0.7

若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，則該學(xué)生估計進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.2.若進(jìn)入國家集訓(xùn)隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄�。呵懊嬉呀�(jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達(dá)重點線才能錄�。�

（Ⅰ）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；

（Ⅱ）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）求該學(xué)生被該校錄取的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形， ．

（1）求證：平面PBD：

（2）設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖甲，在直角梯形中，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=4，過A點作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將ΔADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.取AD的中點F，連接BF，CF，EF，如圖乙。

(1)求證:BC⊥平面DEC；

(2)求二面角C-BF-E的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出三個命題：①直線上有兩點到平面的距離相等，則直線平行平面；②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點的連線平行于這個平面；③過空間一點必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是（ ）

A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明函數(shù)是增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時恒有：，若這樣的實數(shù)存在，試求、的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出以下結(jié)論：

①命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；

②“”是“”的充分條件；

③命題“若，則方程有實根”的逆命題為真命題；

④命題“若，則且”的否命題是真命題.

則其中錯誤的是__________．（填序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，.

（1）求證：平面PAD；

（2）求PD與平面PCE所成角的正弦值.

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