Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)（分別記為），且為定值．

Answer 1

【答案】（1）的最大值為，最小值為.（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由此求得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值和最小值.（2）①將寫成分段函數(shù)的形式，當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).由此證得結(jié)論成立. ②根據(jù)①的結(jié)論，寫出關(guān)于極值點(diǎn)的韋達(dá)定理，計(jì)算出為定值.

（1）當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，

考慮，，

求導(dǎo)得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

又根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，

可知在單調(diào)遞減，和單調(diào)遞增

，，

所以的最大值為，最小值為.

（2）①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，，

，

所以在有2個(gè)根，，

其中，，則在和單調(diào)遞增，在

又在單調(diào)遞增，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以在上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

②因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)根，

所以，

又，

所以為定值.