Question

14．已知△ABC是等腰直角三角形．|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1，$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$，
（1）求$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
（2）若點(diǎn)M在線段BC上，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MD}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）建立坐標(biāo)系，將三角形放入坐標(biāo)系，求出B，C，D，M的坐標(biāo)，利用向量共線定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的一元二次函數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$）•$\overrightarrow{CB}$
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$²=1×$\sqrt{2}×$cos45°-$\frac{1}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$-$\frac{1}{4}×2$=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
（2）將直角三角形放入坐標(biāo)系中，
則A（0，0），B（0，1），C（1，0），
$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$=（1，-1），
 則4（x，y-1）=（1，-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{4x=1}\\{4（y-1）=-1}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即D（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∵點(diǎn)M在線段BC，∴設(shè)$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BC}$=（λ，-λ），0≤λ≤1，
則M（λ，1-λ），
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MD}$=（λ，1-λ）•（$\frac{1}{4}$-λ，λ-$\frac{1}{4}$）=（$\frac{1}{4}$-λ）λ+（1-λ）（λ-$\frac{1}{4}$）=-2λ²+$\frac{3}{2}$λ-$\frac{1}{4}$
=-2（λ-$\frac{3}{8}$）²+$\frac{1}{32}$，
故當(dāng)λ=$\frac{3}{8}$時(shí)，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MD}$取得最大值$\frac{1}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．