Question

3．求函數y=cos⁴x+2sin²xcos²x-cos²x+1的值域．

Answer 1

分析 根據函數y的解析式，利用三角函數進行化簡，求出它的值域即可．

解答 解：y=cos⁴x+2sin²xcos²x-cos²x+1
=（1-sin²x）cos²x+2sin²xcos²x-cos²x+1
=sin²xcos²x+1
=$\frac{1}{4}$（2sinxcosx）²+1
=$\frac{1}{4}$sin²2x+1
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1-cos4x}{2}$+1
=-$\frac{1}{8}$cos4x+$\frac{9}{8}$；
∵-1≤cos4x≤1，
∴-$\frac{1}{8}$≤-$\frac{1}{8}$cos4x≤$\frac{1}{8}$，
∴1≤-$\frac{1}{8}$cos4x+$\frac{9}{8}$≤$\frac{5}{4}$；
即函數y的值域是[1，$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角函數的恒等變換問題，是基礎題目．