Question

13．春蘭公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P．當△ADP的面積最大時最節(jié)能．
（1）設(shè)AB=x米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？

Answer 1

分析 （1）AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，設(shè)DP=y，則PC=x-y．運用三角形全等，結(jié)合勾股定理，可得y的關(guān)系式；
（2）記△ADP的面積為S₁，則S₁=（1-$\frac{1}{x}$）（2-x），運用基本不等式可得最大值，即有長與寬．

解答 解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，
設(shè)DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y．
由 PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，
即有y=2（1-$\frac{1}{x}$），1＜x＜2，
（2）記△ADP的面積為S₁，則
S₁=（1-$\frac{1}{x}$）（2-x）=3-（x+$\frac{2}{x}$）≤3-2$\sqrt{2}$，
當且僅當x=$\sqrt{2}$∈（1，2）時，S₁取得最大值．
故設(shè)計薄板的長為$\sqrt{2}$，寬為2-$\sqrt{2}$時，最節(jié)能．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意根據(jù)題意求出面積函數(shù)的解析式，運用基本不等式，屬于中檔題．