Question

19．設函數(shù)f（x）=1-e^x，g（x）=lg（ax²-4x+1），若對任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]．

Answer 1

分析 設g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域為A，若對任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則函數(shù)f（x）=1-e^x，x∈[0，+∞）的值域（-∞，0]⊆A，即真數(shù)部分ax²-4x+1能取遍（0，1）中的每一個數(shù)，進而得到答案．

解答 解：設g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域為A，
∵函數(shù)f（x）=1-e^x，x∈[0，+∞）的值域為（-∞，0]，
若對任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
則（-∞，0]⊆A，
∴h（x）=ax²-4x+1能取遍（0，1）中的每一個數(shù)，
又∵h（0）=1，
∴a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△≥0\end{array}\right.$，
即a≤0，或0＜a≤4，
綜上可得實數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]，
故答案為：（-∞，4]

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．