Question

3．設f（x）=ax²-（a+1）x+a．
（1）若a=2，解關于x的不等式f（x）＞1；
（2）若對任意x＞0，不等式f（x））＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入，不等式f（x）=2x²-3x+2＞1可化為：2x²-3x+1＞0，解得答案；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論滿足不等式f（x）＞0恒成立時的實數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）若a=2，則不等式f（x）=2x²-3x+2＞1可化為：
2x²-3x+1＞0，
解得：x∈（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
（2）當a＜0時，函數(shù)圖象是開口朝下的拋物線，對任意x＞0，不等式f（x）＞0不可能恒成立，
當a=0時，函數(shù)圖象是從左到右下降的直線，不等式f（x）＞0不可能恒成立，
當a＞0時，函數(shù)圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{a+1}{a}$＞0為對稱軸的拋物線，
若不等式f（x）＞0恒成立，
則f（$\frac{a+1}{a}$）=$\frac{4{a}^{2}-（a+1）^{2}}{4a}$＞0，解得：a＞1，或$-\frac{1}{3}$＜a＜0（舍去），
綜上可得：a＞1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．