Question

15． 已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，E為CC₁的中點，F為B₁C₁的中點．
（1）求證；BD⊥A₁E；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）求證：平面A₁BF⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）連AC，A₁C₁，根據正方體的幾何特征，可得AA₁⊥BD，AC⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACC₁A₁，再根據線面垂直的性質，即可得到BD⊥A₁E．
（2）設AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO，結合（1）的結論，可得∠A₁EO即為二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁EO，可以求出為二面角A₁-BD-E為直二面角，即平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）與（2）同法，即可證明結論．

解答 證明：（1）連AC，A₁C₁．∵正方體AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A．∴BD⊥平面ACC₁A₁ 且E∈CC₁．∴A₁E?平面ACC₁A₁．∴BD⊥A₁E．
（2）設AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO．
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∴∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角．
∵AB=a，E為CC₁中點，∴A₁O=$\sqrt{6}$a，EO=$\sqrt{3}$a，A₁E=3a．
∴A₁O²+OE²=A₁E²．∴A₁O⊥OE．∴∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
（3）取A₁B的中點M，連接DM，F₁M，則∠F₁MD即為二面角F-A₁B-D的平面角．
∴DM=$\sqrt{6}$a，F₁M=$\sqrt{3}$a，DF=3a，
∴F₁M²+DM²=DF²．∴DM⊥FM．∴∠F₁MD=90°．
∴平面A₁BF⊥平面A₁BD．

點評 本題考查的知識點是線面垂直的性質，平面與平面垂直的判定．熟練掌握空間線線、線面及面面之間位置關系的轉化是關鍵．