Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（3sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（-cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并畫出y=f（x）和y=a的圖象，由圖象可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-3sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$）
當(dāng)2x+$\frac{5π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
而函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[$\frac{3π}{2}$，$\frac{11π}{6}$]上單調(diào)遞增，
結(jié)合圖象（如圖），所以方程f（x）=a在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，a∈（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．