Question

7．定義max{b，c}表示實數(shù)b，c中的較大的數(shù)．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₅=4a，則實數(shù)a的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式對a進行分類討論，分別根據(jù)遞推公式求出a₃、a₄、a₅、a₆、…，歸納出數(shù)列的周期，由周期性和條件求出實數(shù)a的值．

解答 解：①當0＜a＜2時，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，
同理可得：a₄=$\frac{8}{a}$，a₅=4，a₆=a，a₇=1，…，
可得a_n+5=a_n，數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列．
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1，成立；
②當a≥2時，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$≤2，
同理可得：a₄=4，a₅=2a≥4，a₆=a≥2，a₇=1，…，
可得a_n+5=a_n，數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列，
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，舍去，
綜上可得，實數(shù)a的值是1，
故答案為：1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列的周期性，以及分類討論思想，考查了推理能力，屬于中檔題．