Question

9．已知B（-1，0），C（2，0）是△ABC的頂點，∠ACB=2∠ABC，求頂點A的軌跡方程．

Answer 1

分析 設A點的坐標為（x，y），∠ABC=α，∠ACB=2α，求出AB，AC的斜率，結合∠ACB=2∠ABC，得到斜率的關系，代入兩直線的斜率整理得答案．

解答 解：設A點的坐標為（x，y），∠ABC=α，∠ACB=2α，
當$α=\frac{π}{4}$時，2α=$\frac{π}{2}$，此時A（2，±3）；
當$α≠\frac{π}{4}$時，
則：${k}_{AB}=tanα=\frac{y}{x+1}$（x≠2）①，
${k}_{AC}=tan（180°-2α）=\frac{y}{x-2}$（x≠2），
即-tan2α=$-\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{y}{x-2}$  ②，
把①代人②，得$-\frac{2\frac{y}{x+1}}{1-（\frac{y}{x+1}）^{2}}=\frac{y}{x-2}$，整理得3x²-y²=3，即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠2），
驗證A（2，±3）適合上式．
又△ABC中，∠ABC＜∠ACB，∴AB＞AC，
∴頂點A的軌跡是雙曲線的右半支，且不包含與x軸交點（1，0）．
故頂點A的軌跡方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（x＞1）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，解答此題的關鍵在于明確△ABC中，由∠ABC＜∠ACB，可得AB＞AC，得到頂點A的軌跡是雙曲線的右半支，且不包含與x軸交點（1，0）．是中檔題．