Question

17．已知圓E過A（0，1）、B（4，3）兩點，且圓心E在x軸上．
（1）求圓E的方程；
（2）對于線段AE上任意一點M，若在以B為圓心的圓上都存在不同的兩點P、Q，使得點P是線段MQ的中點，求圓B的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心為（a，0），則有$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{（a-4）^{2}+9}$，解出a值，可得圓心坐標和半徑，可得圓的方程．
（2）設(shè)M，Q的坐標，可得P的坐標，代入圓的方程，可得以（4，3）為圓心，r為半徑的圓，與以（8-m，6-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，由此求得⊙B的半徑r的取值范圍．

解答 解：設(shè)圓心為（a，0），則有$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{（a-4）^{2}+9}$，∴a=3，
 半徑r=$\sqrt{10}$，
故所求的圓的方程為（x-3）²+y²=10．
（2）直線AE的方程為x+3y-3=0，設(shè)M（m，n）（0≤n≤1），Q（x，y）．
因為點P是點M，Q的中點，所以P（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
P，Q都在半徑為r的圓B上，所以（x-4）²+（y-3）²=r²，（$\frac{m+x}{2}$-4）²+（$\frac{n+y}{2}$-3）²=r²，
因為上式是關(guān)于x，y的方程組有解，
即以（4，3）為圓心，r為半徑的圓，
與以（8-m，6-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，
所以（2r-r）²＜（4-8+m）²+（3-6+n）²＜（r+2r）²，
又m+3n-3=0，
所以r²＜10n²+10＜9r²對任意n∈[0，1]成立．
而f（n）=10n²+10在[0，1]上的值域為[10，20]，
又線段AE與圓B無公共點，
所以（3-3n-4）²+（n-3）²＞r²對任意n∈[0，1]成立，即r²＜10．
10n²+10＜9r²對任意n∈[0，1]成立，則有r²＞$\frac{20}{9}$，
故圓C的半徑r的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，$\sqrt{10}$）．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，有難度．