Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（{2，\frac{5}{2}}）$，．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的定義域，并判斷其奇偶性；
（3）當(dāng)t＞$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，t}]$上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出p的值即可．
（2）根據(jù)函數(shù)成立的條件，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（{2，\frac{5}{2}}）$，
∴f（2）=$\frac{4p+1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即4p+1=5，
即4p=4，
則p=1，$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}$…．（4分）
（2）定義域?yàn)閧x|x≠0}…（6分），
 $f（-x）=\frac{{{{（-x）}^2}+1}}{-x}=-f（x）$，
故f（x）為奇函數(shù)…（8分）
（3）$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
設(shè)0＜x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）-（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）$=$（{{x_1}-{x_2}}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$，
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；…（10分）
${f_{max}}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2，（{t≥1}）}\\{t+\frac{1}{t}，（{\frac{1}{2}＜t＜1}）}\end{array}}\right.$…（12分）（無單調(diào)性證明、無分類討論等適當(dāng)扣分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，最值的求解和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．