Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
（1）證明：函數(shù)F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²是常數(shù)函數(shù)；
（2）判斷G（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$的奇偶性并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和平方差公式化簡(jiǎn)函數(shù)F（x）即可；
（2）先求出G（x）的解析式，再化簡(jiǎn)G（-x）并判斷出與G（x）的關(guān)系，可得函數(shù)G（x）的奇偶性．

解答 證明：（1）由題意得，f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，
所以F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）-g（x）][f（x）+g（x）]
=e^-x•e^x=1，
所以函數(shù)F（x）=[f（x）]²-[g（x）]²是常數(shù)函數(shù)；
（2）函數(shù)G（x）是奇函數(shù)，證明如下：
由題意得，G（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，
則G（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{-x}+{e}^{x}}$=-G（x），
所以函數(shù)G（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)型的函數(shù)奇偶性，以及函數(shù)的化簡(jiǎn)、證明，屬于中檔題．