Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，橢圓C上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+1與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，求出a，c，可得b，然后求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理通過(guò)k_ADk_BD=-1，列出方程，求出直線的斜率，得到直線方程．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，
可得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，消去y可得（4k²+3）x²+8kx-8=0，顯然△＞0恒右成立
則A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$，
${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），∴k_ADk_BD=-1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=-1$
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴（1+k²）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5=0$\begin{array}{l}∴（1+{k^2}）\frac{-8}{{4{k^2}+3}}+（k-2）\frac{-8k}{{4{k^2}+3}}+5=0\\∴4{k^2}+16k+7=0\end{array}$
解得：$k=-\frac{1}{2}$或$k=-\frac{7}{2}$
當(dāng)$k=-\frac{1}{2}$時(shí)，l的方程$y=-\frac{1}{2}x+1$，直線過(guò)點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)$k=-\frac{7}{2}$時(shí)，l的方程為$y=-\frac{7}{2}x+1$，
所以，直線l的方程為$y=-\frac{7}{2}x+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的解得性質(zhì)以及橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．