Question

16．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，它的一個頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，焦點(diǎn)到漸近線的距離是$\sqrt{3}$，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{\sqrt{3}}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由題意可得c-a=1，求出漸近線方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得b=$\sqrt{3}$，由a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線的一個頂點(diǎn)（a，0）到較近焦點(diǎn)（c，0）的距離為1，
可得c-a=1，
由雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則焦點(diǎn)（c，0）到漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
又c²-a²=b²=3，
解得a=1，c=2，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．