Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB，現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE=1，是否在折疊后的線段AL上存在一點P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
（2）求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求此時點F到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此時λ=$\frac{3}{2}$．當λ=$\frac{3}{2}$，此時$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3}{5}$，過P作MP∥FD，與AF交M，則$\frac{MP}{FD}$=$\frac{3}{5}$，可證：四邊形MPCE為平行四邊形，得到PC∥ME，因此CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：AF⊥EF，因此AF⊥平面EFDC，設BE=x，則AF=x，（0＜x＜4），F(xiàn)D=6-x，故三棱錐A-CDF的體積V=$\frac{1}{3}$x×$\frac{1}{2}×2×（6-x）$，利于基本不等式的性質(zhì)即可得出．建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，點F到平面ACD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 解：（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此時λ=$\frac{3}{2}$．
證明：當λ=$\frac{3}{2}$，此時$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
過P作MP∥FD，與AF交M，則$\frac{MP}{FD}$=$\frac{3}{5}$，
又FD=5，故MP=3，
∵EC=3，MP∥FD∥EC，
∴MP∥EC，且MP=EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，
∴PC∥ME，
∵CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面EFDC，
∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），F(xiàn)D=6-x，
故三棱錐A-CDF的體積V=$\frac{1}{3}$x×$\frac{1}{2}×2×（6-x）$=$\frac{1}{3}x（6-x）$$≤\frac{1}{3}×（\frac{x+6-x}{2}）^{2}$=3，
∴x=3時，三棱錐A-CDF的體積V有最大值，最大值為3．
建立如圖所示的空間直角坐標系，則F（0，0，0），A（0，0，3），C（2，1，0），D（0，3，0）．
$\overrightarrow{AD}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，3）．
設平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3y-3z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，則x=1，z=1，∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴點F到平面ACD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、點到平面的距離的向量表示，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．