Question

6．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥面PAB
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDC
（Ⅲ）求直線EC與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)中位線定理求證出四邊形MEBC為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）先證明線面垂直，再到面面垂直；
（Ⅲ）找到∠ECF為直線EC與平面PAC所成的角，再解三角形即可．

解答 證明：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)M，連接BM，ME∥AD且$ME=\frac{1}{2}AD$，
BC∥AD且$BC=\frac{1}{2}AD$，
∴ME∥BC且 ME=BC，
∴四邊形MEBC為平行四邊形，…（2分）
∴平面BME∥CE，CE?面PAB，BM?面PAB，
∴CE∥面PAB…（4分）
（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DC，…（5分）
又AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，…（7分）
∵AC∩PA=A，
∴DC⊥平面PAC…（8分）
又DC?平面PDC，
所以平面PAC⊥平面PDC…（9分）
（Ⅲ）取PC中點(diǎn)F，則EF∥DC，
由（Ⅱ）知DC⊥平面PAC，
則EF⊥平面PAC，
所以∠ECF為直線EC與平面PAC所成的角，…（11分）
CF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}CD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（12分）
∴$tan∠ECF=\frac{EF}{FC}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即直線EC與平面PAC所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間角，線面平行，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．