Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx在區(qū)間[

2

，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：由f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
當b≤0時，在區(qū)間[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，此時函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx在區(qū)間[

2

，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件；
當b＞0時，在區(qū)間[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，由函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx在區(qū)間[

2

，+∞）上是減函數(shù)，可得：

b

≤

2

，
最后綜合討論結果，可得滿足條件的b的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx，
∴f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
當b≤0時，在區(qū)間[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
此時函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx在區(qū)間[

2

，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件；
當b＞0時，在區(qū)間[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
由函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+blnx在區(qū)間[

2

，+∞）上是減函數(shù)，
可得：

b

≤

2

，即0＜b≤2，
綜上所述b≤2，
即b的取值范圍是（-∞，2]，
故答案為：（-∞，2]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質，是導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的簡單應用，難度不大，屬于基礎題．