Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-（e-1）lnx，其中e為自然對數(shù)的底，則滿足f（e^x）＜0的x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x-1-（e-1）lnx，
∴函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-

e-1

x

=

x-(e-1)

x

，
由f′（x）＞0得x＞e-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜e-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
在x=e-1時，函數(shù)取得極小值，
∵f（1）=0，f（e）=0，
∴不等式f（x）＜0的解為1＜x＜e，
則f（e^x）＜0等價為1＜e^x＜e，
即0＜x＜1，
故答案為：（0，1）

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．