Question

2．已知關(guān)于x的方程${e^x}+{e^{-x}}-2a{log_2}（|x|+2）+{a^2}=5$有唯一實數(shù)解，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． -1或3
• D． 1或-3

Answer 1

分析 構(gòu)造函f（x）=e^x+e^-x-2alog₂（|x|+2）+a²，判斷函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)先進(jìn)行求解，然后進(jìn)行檢驗即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+e^-x-2alog₂（|x|+2）+a²，
則函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）上為偶函數(shù)，
若關(guān)于x的方程${e^x}+{e^{-x}}-2a{log_2}（|x|+2）+{a^2}=5$有唯一實數(shù)解，
則等價為f（0）=5，
即f（0）=2-2alog₂2+a²=a²-2a+2=5，
則a²-2a-3=0，
得a=3或a=-1，
當(dāng)a=3時，方程等價為e^x+e^-x-6log₂（|x|+2）+9=5，
即e^x+e^-x+4=6log₂（|x|+2），
作出函數(shù)ye^x+e^-x+4和y=6log₂（|x|+2）的圖象如圖，此時兩個函數(shù)有3個交點，不滿足條件．

當(dāng)a=-1時，方程等價為e^x+e^-x+2log₂（|x|+2）+1=5，
即2log₂（|x|+2）=4-（e^x+e^-x），
作出函數(shù)y=2-（e^x+e^-x）和y=2log₂（|x|+2）的圖象如圖，此時兩個函數(shù)有1個交點，滿足條件，

綜上a=-1，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)的對稱性建立方程關(guān)系，注意進(jìn)行檢驗．