Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）
（1）若f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4、最小值為1，求a，b的值；
（2）若a=1，b=1，關(guān)于x的方程f（|2^x-1|）+k（4-3|2^x-1|）=0，有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的開口方向和對稱軸可知f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，根據(jù)最值列出方程組解出a，b；
（2）令|2^x-1|=t，得到關(guān)于t的二次函數(shù)h（t），結(jié)合t=|2^x-1|的函數(shù)圖象可判斷h（t）的零點分布情況，列出不等式組解出k的值．

解答 解：（1）f（x）=a（x-1）²+1+b-a．
∵a＞0，f（x）的對稱軸為x=1，
可得f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，
故f（2）=1，f（3）=4，
即1+b=1，3a+1+b=4，
解得a=1，b=0；
（2）由題意可得f（x）=x²-2x+2，
∴f（|2^x-1|）+k（4-3|2^x-1|）=0，
即為|2^x-1|²-2|2^x-1|+2+k（4-3|2^x-1|）=0，
即|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+2（1+2k）=0，
令|2^x-1|=t，則方程可化為t²-（2+3k）t+2（1+2k）=0（t≥0），
關(guān)于x的方程f（|2^x-1|）+k（2-3|2^x-1|）=0有3個不同的實數(shù)解，
結(jié)合t=|2^x-1|的圖象（如右圖）可知，
方程t²-（2+3k）t+2（1+2k）=0有兩個根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1，或0＜t₁＜1，t₂=0，
記h（t）=t²-（2+3k）t+2（1+2k），
則$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2（1+2k）＞0}\\{h（1）=1+k＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2（1+2k）＞0}\\{h（1）=1+k=0}\\{0＜\frac{2+3k}{2}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1+2k=0}\\{0＜2+3k＜1}\end{array}\right.$．
即有k∈∅或k=-$\frac{1}{2}$．
解得k=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)零點分布與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．