Question

8．已知命題p：y=（a²-a-1）^x是增函數(shù)；命題q：?x∈[3，4]不等式x²-ax+a-3＞0恒成立，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真命題時的取值范圍，然后利用若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵y=（a²-a-1）^x是增函數(shù)，∴a²-a-1＞1，即a²-a-2＞0，得a＞2或a＜-1，即p：a＞2或a＜-1，
設(shè)f（x）=x²-ax+a-3，
對稱軸是：x=$\frac{a}{2}$；
∴當(dāng)$\frac{a}{2}$≤3，即a≤6時，f（x）_min=f（3）=6-2a＞0，得a＜3，此時a＜3；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥4，即a≥8時，f（x）_min=f（4）=13-3a＞0，得a＜$\frac{13}{3}$，此時a無解；
當(dāng)3＜$\frac{a}{2}$＜4，即6＜a＜8時，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a²+a-3＞0，
即a²-4a+12＜0，此時a無解，
綜上a＜3，即q：a＜3．
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p，q一真一假．
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2或a＜-1}\\{a≥3}\end{array}\right.$得a≥3．
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤2}\\{a＜3}\end{array}\right.$得，-1≤a≤2．
綜上實數(shù)a的取值范圍是a≥3或-1≤a≤2．

點評 本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，將條件進(jìn)行等價化簡是解決本題的關(guān)鍵．