Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+b，若對于任意的x都有f（x）≥g（x），則ab的最大值為（　�。�

• A． e
• B． $\frac{e}{3}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}e}{2}$

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=e^x-a，
若a=0，則h（x）=e^x-b的最小值為h（x）＞-b≥0，
得b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，x→-∞，此時h（x）→-∞，不可能恒有h（x）≥0．
若a＞0，則得極小值點x=lna，由h（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）=m（a），
現(xiàn)求m（a）的最小值：由m′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得極小值點a=$\sqrt{e}$，
g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
所以ab的最大值為$\frac{e}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．