分析 (Ⅰ)通過Sn+1=3Sn+n+1與Sn=3Sn-1+n(n≥2)作差,進而計算可知an+1=3an+1(n≥2),變形可知an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),進而可知數(shù)列{an+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)通過a1=1及(I)可知${b_n}=\frac{n}{{\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}-\frac{{{3^n}-1}}{2}}}=\frac{n}{3^n}$,進而利用錯位相減法計算即得結論.
解答 證明:(Ⅰ)∵Sn+1=3Sn+n+1,①
∴Sn=3Sn-1+n(n≥2),②
①-②得:an+1=3an+1(n≥2),
變形得:an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),即$\frac{{{a_{n+1}}+\frac{1}{2}}}{{{a_n}+\frac{1}{2}}}=3(n≥2)$,
又∵$\frac{{{a_2}+\frac{1}{2}}}{{{a_1}+\frac{1}{2}}}=3$滿足上式,
∴數(shù)列{an+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)由a1=1,得an=$\frac{{{3^n}-1}}{2}$,n∈N*,
則${b_n}=\frac{n}{{\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}-\frac{{{3^n}-1}}{2}}}=\frac{n}{3^n}$,
又∵${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$,①
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$,②
①-②得:$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$,
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^n})}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$,
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{3+2n}{{4•{3^n}}}$,即${T_n}<\frac{3}{4}$.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,利用錯位相減法是解決本題的關鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $a<\frac{1}{3}$ | B. | $a≤\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{6}≤a<\frac{1}{3}$ | D. | $0<a<\frac{1}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $(-2,\frac{3}{2})∪(\frac{3}{2},+∞)$ | B. | $(-2,\frac{3}{2})$ | C. | $(\frac{3}{2},+∞)$ | D. | (-2,+∞) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{7}{24}$ | B. | $\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ | D. | $\frac{{\sqrt{14}}}{4}$ |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com