Question

3．已知直線y=kx+b與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于A，B兩點，記△AOB的面積為S（O是坐標(biāo)原點）
（1）求橢圓的離心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（3）當(dāng)|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由橢圓方程求得a，b的值，進一步得到c，則橢圓離心率可求；
（2）設(shè)出點A，B的坐標(biāo)，利用橢圓的方程求得A，B的橫坐標(biāo)，再利用弦長公式及點到直線的距離公式，求得三角形面積表達式，利用基本不等式求得其最大值；
（3）把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得AB的長度的表達式，利用O到直線AB的距離建立方程求得b和k的關(guān)系式，求得k，則直線的方程可求．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{3}$，
∴此橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為（x₁，b），點B的坐標(biāo)為（x₂，b）（x₁＜x₂），
由$\frac{{x}^{2}}{4}+^{2}=1$，解得${x}_{1}=-2\sqrt{1-^{2}}$，${x}_{2}=2\sqrt{1-^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$b•|x₁-x₂|=2b•$\sqrt{1-^{2}}$≤b²+1-b²=1．
當(dāng)且僅當(dāng)$b=\sqrt{1-^{2}}$，即$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$時，S取到最大值1；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，①
△=64k²b²-（16k²+4）（4b²-4）=16（4k²-b²+1），
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8kb}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-8kb}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{4^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-^{2}+1}}{4{k}^{2}+1}$．②
設(shè)O到AB的距離為d，則d=$\frac{2S}{|AB|}=1$，
又∵d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴b²=k²+1，代入②式并整理，得4k⁴-4k²+1=0，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{2}$，$^{2}=\frac{3}{2}$，代入①式檢驗，△＞0，
故直線AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、考查橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算能力，是中檔題．