Question

1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的序號(hào)是④．
①若函數(shù)f（x）=ax²+（2a+b）x+2，x∈[2a-1，a+4]是偶函數(shù)，則b=2；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-2015}-\sqrt{2015-{x^2}}$既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f（x）單調(diào)遞增，則f（x）在R上為增函數(shù)；
⑤已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，且對(duì)?x，y∈R都滿(mǎn)足f（x•y）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 對(duì)5個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①由函數(shù)f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即2a-1=-（a+4），可得a=-1．于是函數(shù)f（x）=ax²+（2a+b）x+2=-x²+（-2+b）x+2，而要使該函數(shù)為偶函數(shù)，則須-2+b=0，即b=2，正確；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-2015}-\sqrt{2015-{x^2}}$=0，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，正確；
③設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），∴f（-x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x），而f（0）=0，∴當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|），正確；
④已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f（x）單調(diào)遞增，則f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，f（x）在R上不一定為增函數(shù)，比如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
⑤因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿(mǎn)足f（xy）=yf（x）+xf（y），所以令x=y=1，得f（1）=0，令x=y=-1，得f（-1）=0；令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．