Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{\sqrt{（1-{m}^{2}）{x}^{2}+3（1-m）x+6}}$，解答下列問題：
①若m=1時，試求函數(shù)f（x）的定義域與值域；
②若f（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
③若f（x）的定義域為（-2，1），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 ①把m=1代入函數(shù)解析式，可得函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則函數(shù)f（x）的定義域與值域可求；
②由f（x）的定義域為R，可得（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0恒成立．然后分二次項系數(shù)為0和不為0求解；
③由f（x）的定義域為（-2，1），得（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0的解集是（-2，1），然后利用二次函數(shù)的開口方向結(jié)合方程的根列式求解．

解答 解：①當(dāng)m=1時，f（x）=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的定義域為R，值域為{$\frac{\sqrt{6}}{3}$}；
②∵f（x）的定義域為R，
∴（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0恒成立．
當(dāng)m=-1時不合題意，當(dāng)m=1時，符合題意；
當(dāng)m≠±1時，需$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}＞0}\\{9（1-m）^{2}-24（1-{m}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
解得-1＜m＜1，
綜合可得實數(shù)m的取值范圍為（-1，1]；
③若f（x）的定義域為（-2，1），即（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0的解集是（-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}＜0}\\{（1-{m}^{2}）（-2）^{2}+3（1-m）（-2）+6=0}\\{1-{m}^{2}+3（1-m）+6=0}\end{array}\right.$，解得：m=2．
∴使f（x）的定義域為（-2，1）的實數(shù)m的值為2．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．