Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx），且f（x）=2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值，并求出此時的x的取值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）圖象與y軸的交點、y軸右側(cè)第一個最低點、與x軸的第二個交點分別記為P，Q，R，求$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QR}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求出f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最大值，以及此時的x的取值．
（Ⅱ）由條件求得P，Q，R的坐標(biāo)，再利用兩個向量的數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QR}$的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2=2$\sqrt{3}$sinxcosx，-2sinx•sinx+2=$\sqrt{3}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z時，即x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈z） 時，f（x）取得最大值為3．
（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，得x=kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈z），此時f（x）=-1，則Q（$\frac{2π}{3}$，-1）．
而由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，得x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈z），故R（$\frac{5π}{6}$，0），
從而$\overrightarrow{QP}$=（-$\frac{2π}{3}$，3），$\overrightarrow{QR}$=（$\frac{π}{6}$，1），因此$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QR}$=-$\frac{2π}{3}×\frac{π}{6}$+3×1=3-$\frac{{π}^{2}}{9}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，三角恒等變換，屬于中檔題．