Question

（1）已知橢圓過(guò)點(diǎn)P（0，3）且a=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(4

2

，-3)，且點(diǎn)Q（0，5）與兩焦點(diǎn)的連線相互垂直，求此雙曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 b2 =1 a=3b

；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 a2 =1 a=3b

．由此能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 b2 =1 a=3b

，解得a=9，b=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

81

+

y2

9

=1．
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 a2 =1 a=3b

，解得a=3，b=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+

y2

9

=1．
（2）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P(4

2

，-3)，且點(diǎn)Q（0，5）與兩焦點(diǎn)的連線相互垂直，
∴

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，解得a=4，b=3，
∴雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意圓錐曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．