Question

（1）已知橢圓過點P（0，3）且a=3b，求橢圓的標準方程；
（2）焦點在x軸上的雙曲線過點P(4

2

，-3)，且點Q（0，5）與兩焦點的連線相互垂直，求此雙曲線的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）當橢圓焦點在x軸時，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 b2 =1 a=3b

；當橢圓焦點在y軸時，設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 a2 =1 a=3b

．由此能求出橢圓標準方程．
（2）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）當橢圓焦點在x軸時，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 b2 =1 a=3b

，解得a=9，b=3，
∴橢圓的標準方程為

x2

81

+

y2

9

=1．
當橢圓焦點在y軸時，設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 a2 =1 a=3b

，解得a=3，b=1，
∴橢圓標準方程為x2+

y2

9

=1．
（2）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵雙曲線過點P(4

2

，-3)，且點Q（0，5）與兩焦點的連線相互垂直，
∴

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，解得a=4，b=3，
∴雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=1．

點評：本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法，是基礎題，解題時要注意圓錐曲線的性質的合理運用．