Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-（{{a^2}-a}）lnx-x$（a≤$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 設(shè)g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）對?x＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$對?x＞1恒成立，令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，通過討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性得到其最小值，解關(guān)于a的不等式即可求出a的范圍．

解答 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=x-\frac{{{a^2}-a}}{x}-1=\frac{{{x^2}-x-（{{a^2}-a}）}}{x}=\frac{{（{x-a}）（{x+a-1}）}}{x}$，
令f′（x）=0，得x=a或x=1-a．-----（2分）
當$a≤\frac{1}{2}$時，a≤1-a，且1-a＞0．
①當a=$\frac{1}{2}$時，a=1-a=$\frac{1}{2}$＞0，f′（x）＞0．
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；--------------------------（3分）
②當a≤0時，f（x）在（0，1-a）上單調(diào)遞減，在（1-a，+∞）上單調(diào)遞增；---------------------------（4分）
③當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，a）和（1-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1-a）上單調(diào)遞減．---------------（5分）
（II）由題意知，$\frac{1}{2}{x^2}-（{{a^2}-a}）lnx-x＞{a^2}ln{x^2}-x$，
即$3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$對?x＞1恒成立
令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，則$h'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{2{{（{lnx}）}^2}}}$．---------------（7分）
令h′（x）=0，得$x=\sqrt{e}$．---------------（8分）
當$x∈（{1，\sqrt{e}}）$時，h（x）單調(diào)遞減；$x∈（{\sqrt{e}，+∞}）$時，h（x）單調(diào)遞增．
所以當$x=\sqrt{e}$時，h（x）取得最小值$h（{\sqrt{e}}）=e$．---------------（10分）
∴3a²-a＜e⇒$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a＜\frac{{1+\sqrt{1+12e}}}{6}$．
又∵$a≤\frac{1}{2}$，∴$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a≤\frac{1}{2}$．---------------（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．