Question

8．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E為BD的中點．

（1）求證：BM⊥平面ADM；
（2）求直線AE與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）求出平面ADM的一個法向量，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{MB}$的余弦值，從而求出直線AE與平面ADM所成角的正弦值．

解答 解：（1）△ABM中，AB=2，$AM=BM=\sqrt{2}$，∴AM⊥BM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM…（6分）
（2）如圖，以M點為坐標(biāo)原點，MA所在直線為x軸，MB所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（0，0，0），$A（\sqrt{2}，0，0）$，$B（0，\sqrt{2}，0）$，$D（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，


∵E為BD中點，∴$E（\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，$\overrightarrow{AE}=（-\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$，
由（1）知，$\overrightarrow{MB}$為平面ADM的一個法向量，
$\overrightarrow{MB}=（0，\sqrt{2}，0）$，
$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{MB}＞=\frac{{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{MB}}}{{|{\overrightarrow{AE}}|•|{\overrightarrow{MB}}|}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\sqrt{2}}}{{\sqrt{\frac{9}{8}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，
∴直線AE與平面ADM所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{14}}}{7}$…（12分）

點評 本題考查了線面垂直的判定，考查平面的法向量問題，考查線面角問題，是一道中檔題．