Question

6．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F（2，0）作斜率為$\sqrt{\frac{3}{5}}$的直線，交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，求雙曲線方程．

Answer 1

分析 先由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線的點(diǎn)斜式方程，然后聯(lián)立方程組消去y得x的方程，利用|MN|=4，建立方程，求出a，即可求雙曲線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），直線方程為y=$\sqrt{\frac{3}{5}}$（x-2），b²=4-a²，
直線與雙曲線方程聯(lián)立，整理，可得（4-$\frac{8}{5}$a²）x²+$\frac{12}{5}$a²x-$\frac{32}{5}$a²+a⁴=0，
∵|MN|=4，
∴（1+$\frac{3}{5}$）[（-$\frac{\frac{12}{5}{a}^{2}}{4-\frac{8}{5}{a}^{2}}$）²-4×$\frac{-\frac{32}{5}{a}^{2}+{a}^{4}}{4-\frac{8}{5}{a}^{2}}$]=16，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線方程是x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)．