Question

19．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）當a＞0，f（x）＜0，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出不等式，求出解集即可；
（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（3）討論1＞a＞0與a＞1時，求出不等式f（x）＜0的解集即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1），
∴$\frac{x-5}{x+5}$＞0，
它等價于（x-5）（x+5）＞0，
解得x＜-5或x＞5，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（2）f（x）是定義域（-∞，-5）∪（5，+∞）上的奇函數(shù)，
證明如下，任取x∈（-∞，-5）∪（5，+∞），
則f（-x）=log_a$\frac{-x-5}{-x+5}$=log_a$\frac{x+5}{x-5}$=-log_a$\frac{x-5}{x+5}$=-f（x），
∴f（x）是定義域（-∞，-5）∪（5，+∞）上的奇函數(shù)；
（3）當1＞a＞0時，f（x）＜0等價于$\frac{x-5}{x+5}$＞1，
即$\frac{x-5}{x+5}$-1＞0，
化簡得$\frac{-10}{x+5}$＞0，
解得x＜-5；
當a＞1時，f（x）＜0等價于0＜$\frac{x-5}{x+5}$＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-5}{x+5}＞0}\\{\frac{x-5}{x+5}＜1}\end{array}\right.$，
解得x＞5；
綜上，1＞a＞0時，f（x）＜0的解集是（-∞，-5），
a＞1時，f（x）＜0的解集是（5，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了判斷與證明函數(shù)的奇偶性問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．