Question

9．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx-sinx，2sinx），其中x∈R．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及相應(yīng)x的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出最值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，即x=$kπ+\frac{π}{6}$時(shí)，$sin（2x+\frac{π}{6}）$取得最大值1．因此函數(shù)f（x）取得最大值2．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{3}$時(shí)，$sin（2x+\frac{π}{6}）$取得最小值-1．因此函數(shù)f（x）取得最小值-2．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．