Question

12．定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）；②當(dāng)x∈（1，2]時．f（x）=（2-x）³．若方程f（x）-k（x-1）=0恰有兩個不同實根，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2]
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2）

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件分別求出函數(shù)f（x）在（1，8]上對應(yīng)的解析式和圖象，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)k的范圍即可．

解答 解：∵對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）；
∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$），
若x∈（2，4]，則$\frac{x}{2}$∈（1，2]，
此時f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2（2-$\frac{x}{2}$）³=$\frac{1}{4}$（4-x）³，
若x∈（4，8]，則$\frac{x}{2}$∈（2，4]，
此時f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2×$\frac{1}{4}$（4-$\frac{x}{2}$）³=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{x}{2}$）³，
作出函數(shù)f（x）在（1，8]上的圖象如圖：B（2，2），C（4，4）．
又k_AB=$\frac{2-0}{2-1}$=2，k_AC=$\frac{4-0}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
由題意得f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點A（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點重合但不能與A點重合）
分析圖象知，當(dāng)$\frac{4}{3}≤k＜2$時f（x）=k（x-1）有兩個不同的解．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．