Question

2．（普通中學(xué)做）若函數(shù)f（x）=|lnx|-ax有且僅有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 法1：利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化a=$\frac{|lnx|}{x}$，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．
法2：作出函數(shù)f（x）的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)的切線方程以及斜率，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：法1：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
由f（x）=|lnx|-ax=0得|lnx|=ax，
即a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\\{-\frac{lnx}{x}，}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，
設(shè)g（x）=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\\{-\frac{lnx}{x}，}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x≥1時，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由g′（x）＞0得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0得1-lnx＜0，解得x＞e，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)x=e時，函數(shù)g（x）取得極大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$．
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）=-$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
要使函數(shù)f（x）=|lnx|-ax有且僅有三個零點，
則等價為a=g（x）有且僅有三個不同的交點，
由圖象知0＜a＜$\frac{1}{e}$．
法2：
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若a≤0時，方程f（x）=ax不可能有三個不相等的實數(shù)根，
則必有a＞0，
當(dāng)直線y=ax與y=lnx在x＞1時相切時，
設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，即f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切線方程為y=ax，
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，則x₀=e，
則a=$\frac{1}{e}$，
要使方程f（x）=ax有且僅有三個不相等的實數(shù)根，
則0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分類法結(jié)合導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值和圖象是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合．