Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|$\sqrt{x}$-ax-b|，a，b∈R，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分情況討論a不同取值時(shí)函數(shù)u（x）=$\sqrt{x}$-ax-b在[0，4]上的范圍，從而確定f（x）的最大值，將對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立，轉(zhuǎn)化為m≤m≤f（x）_max恒成立，即可解決．

解答 設(shè)f（x）的最大值為M（b），
令u（x）=$\sqrt{x}$-ax-b，則u′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-a
在x∈[0，4]上，
當(dāng)u′（x）≥0，即a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，u（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)-b≤u（x）≤2-4a-b，
當(dāng)b≤1-2a時(shí)，M（b）=2-4a-b，當(dāng)b＞1-2a時(shí)，M（b）=b，
從而當(dāng)a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，b=1-2a時(shí)M（b）取最小值，M（b）_min=1-2a≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，u（x）在[0，$\frac{1}{{4a}^{2}}$）上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{{4a}^{2}}$，4]上單調(diào)遞減，
在a∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，-b≤u（x）≤$\frac{1}{4a}$-b，當(dāng)b=$\frac{1}{8a}$時(shí)，M（b）_min=$\frac{1}{8a}$≥$\frac{1}{4}$，
在a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，2-4a-b≤u（x）≤$\frac{1}{4a}$-b，當(dāng)b=1-2a+$\frac{1}{8a}$時(shí)，M（b）_min=2a+$\frac{1}{8a}$-1＞$\frac{1}{4}$，
綜上所述，M（b）_min=$\frac{1}{4}$，
對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立等價(jià)于m≤f（x）_max恒成立，
∴m≤$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，和存在性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于壓軸題，難題．