Question

1．已知函數(shù)y=f（x）=$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$（x＞-2），求$\frac{1}{y}$的取值范圍和此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{y}$=（x+2）+$\frac{3}{x+2}$-3，由基本不等式可得取值范圍，由“對勾函數(shù)”的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵x＞-2，∴x+2＞0，
∵y=f（x）=$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，
∴$\frac{1}{y}$=$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+2}$=$\frac{（x+2）^{2}-3（x+2）+3}{x+2}$
=（x+2）+$\frac{3}{x+2}$-3≥2$\sqrt{3}$-3，
當且僅當（x+2）=$\frac{3}{x+2}$即x=$\sqrt{3}$-2時取等號，
∴$\frac{1}{y}$的取值范圍為[2$\sqrt{3}$-3，+∞），
令x+2=t，$\frac{1}{y}$=t+$\frac{3}{t}$-3，
由“對勾函數(shù)”的單調(diào)性可知$\frac{1}{y}$=t+$\frac{3}{t}$-3在t∈（0，$\sqrt{3}$）單調(diào)遞減，在t∈（$\sqrt{3}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，$\sqrt{3}$-2），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{3}$-2，+∞）

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及“對勾函數(shù)”的單調(diào)性和最值，屬中檔題．