Question

12．已知函數(shù)$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$，在下列四個命題中：
①函數(shù)的表達(dá)式可以改寫為$f（x）=2cos（2x-\frac{π}{3}）$；
②當(dāng)$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）時，函數(shù)取得最大值為2；
③若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=0，則${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{2π}{3}$對稱；
其中正確命題的序號是①②③④（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
故①正確；
∵當(dāng)$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值為2，故②正確；
若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁和x₂為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，x₁和x₂相差半個周期的整數(shù)倍，
即${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$，故③正確；
當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時，f（x）=2cosπ=-2，為函數(shù)的最小值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{2π}{3}$對稱，
故④正確，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 本題主要考查輔助角公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．