Question

3．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，且過(guò)點(diǎn)（1，2）．
（Ⅰ）求該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過(guò)該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，k∈[1，2]，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把定點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，求得p，則拋物線(xiàn)方程可求；
（Ⅱ）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y²=2px（p＞0），
代入點(diǎn)（1，2），可得p=2，
∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x；
（Ⅱ）拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∴直線(xiàn)l：y=k（x-1）．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線(xiàn)l：y=k（x-1）與y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則由韋達(dá)定理有：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
則弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵k∈[1，2]，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$∈[1，4]，
∴弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是[5，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題．