Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-a²lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導數(shù)，通過①當a＞0時，②當a=0時，③當a＜0時，判斷導函數(shù)的符號，求出單調(diào)區(qū)間即可．
（2）通過f′（x）=0時，解得$x=\frac{a}{2}$．①當$0＜\frac{a}{2}≤1$，②當$\frac{a}{2}＞1$，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）定義域為（0，+∞），∵$f'（x）=2x+a-\frac{a^2}{x}=\frac{（x+a）（2x-a）}{x}$，
①當a＞0時，令f′（x）＞0，解得$x＞\frac{a}{2}$；令f′（x）＜0，解得$0＜x＜\frac{a}{2}$．
②當a=0時，f′（x）=2x＞0恒成立，所以f（x）只有增區(qū)間（0，+∞）．
③當a＜0時，令f′（x）＞0，解得x＞-a；令f′（x）＜0，解得0＜x＜-a，…（6分）
綜上：當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為$（\frac{a}{2}，+∞）$；減區(qū)間為$（0，\frac{a}{2}）$；
當a=0時，f（x）只有增區(qū)間（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（-a，+∞）；
減區(qū)間為（0，-a）…（7分）
（2）∵$f'（x）=\frac{（x+a）（2x-a）}{x}$，∴f′（x）=0時，解得$x=\frac{a}{2}$．
∵a＞1，∴$\frac{a}{2}＜a$，由（1）可知
①當$0＜\frac{a}{2}≤1$，即0＜a≤2時，f（x）在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（1）=a+1；
②當$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2時，f（x）在區(qū)間$[{1，\frac{a}{2}}）$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（{\frac{a}{2}，a}]$上單調(diào)遞增．
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{2}）={a^2}（\frac{3}{4}-ln\frac{a}{2}）$…（11分）
綜上：$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{a+1，\;0＜a≤2}\\{{a^2}（\frac{3}{4}-ln\frac{a}{2}）\;，a＞2}\end{array}}\right.$，…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最小值的求法，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用．