12.已知函數(shù)f(x)=x2+ax-a2lnx(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,a]上的最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,函數(shù)的導數(shù),通過①當a>0時,②當a=0時,③當a<0時,判斷導函數(shù)的符號,求出單調(diào)區(qū)間即可.
(2)通過f′(x)=0時,解得$x=\frac{a}{2}$.①當$0<\frac{a}{2}≤1$,②當$\frac{a}{2}>1$,求出函數(shù)的最小值即可.

解答 解:(1)定義域為(0,+∞),∵$f'(x)=2x+a-\frac{a^2}{x}=\frac{(x+a)(2x-a)}{x}$,
①當a>0時,令f′(x)>0,解得$x>\frac{a}{2}$;令f′(x)<0,解得$0<x<\frac{a}{2}$.
②當a=0時,f′(x)=2x>0恒成立,所以f(x)只有增區(qū)間(0,+∞).
③當a<0時,令f′(x)>0,解得x>-a;令f′(x)<0,解得0<x<-a,…(6分)
綜上:當a>0時,f(x)的增區(qū)間為$(\frac{a}{2},+∞)$;減區(qū)間為$(0,\frac{a}{2})$;
當a=0時,f(x)只有增區(qū)間(0,+∞);
當a<0時,f(x)的增區(qū)間為(-a,+∞);
減區(qū)間為(0,-a)…(7分)
(2)∵$f'(x)=\frac{(x+a)(2x-a)}{x}$,∴f′(x)=0時,解得$x=\frac{a}{2}$.
∵a>1,∴$\frac{a}{2}<a$,由(1)可知
①當$0<\frac{a}{2}≤1$,即0<a≤2時,f(x)在區(qū)間[1,a]上單調(diào)遞增.
∴f(x)min=f(1)=a+1;
②當$\frac{a}{2}>1$,即a>2時,f(x)在區(qū)間$[{1,\frac{a}{2}})$上單調(diào)遞減,在區(qū)間$({\frac{a}{2},a}]$上單調(diào)遞增.
∴$f{(x)_{min}}=f(\frac{a}{2})={a^2}(\frac{3}{4}-ln\frac{a}{2})$…(11分)
綜上:$f{(x)_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{a+1,\;0<a≤2}\\{{a^2}(\frac{3}{4}-ln\frac{a}{2})\;,a>2}\end{array}}\right.$,…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,函數(shù)的最小值的求法,單調(diào)區(qū)間的求法,考查計算能力分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用.

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