Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n=3a_n+1-3，則a_n=（　�。�

• A． ${（{\frac{4}{3}}）^{n-1}}$
• B． ${（{\frac{3}{4}}）^{n-1}}$
• C． 3^n-1
• D． ${（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得S_n-1=3a_n-3（n≥2）．與原遞推式作差后可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．驗(yàn)證$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{3}$，可得數(shù)列{a_n}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，由此求得a_n．

解答 解：由S_n=3a_n+1-3，得
S_n-1=3a_n-3（n≥2）．
兩式作差可得a_n=3a_n+1-3a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．
∵a₁=1，S_n=3a_n+1-3，
∴${a}_{2}=\frac{4}{3}$，則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．